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Une remarque sur les équivalences de catégories (10/11/18)

Deux catégories C et D sont dites équivalentes si il existe deux foncteurs U : C → D et F : D → C tels que UF ≃ 1 et FU ≃ 1 naturellement. À partir de ces données, on peut construire une adjonction (de deux manières, en fait !) :

Notons η : 1 ⇒ UF et ε : FU ⇒ 1 les deux isos naturels fournis (sens arbitraire).

[X, UY] → [FX, Y]
θ : f ↦ εY ∘ Ff

admet un inverse naturel g ↦ ηUY⁻¹ ∘ UεY⁻¹ ∘ Ug ∘ ηX :

ηUY⁻¹ ∘ UεY⁻¹ ∘ U(εY ∘ Ff) ∘ ηX
= ηUY⁻¹ ∘ UεY⁻¹ ∘ UεY ∘ UFf ∘ ηX
= ηUY⁻¹ ∘ UFf ∘ ηX
= ηUY⁻¹ ∘ ηUY ∘ UFf (naturalité)
= f

εY ∘ F(ηUY⁻¹ ∘ UεY⁻¹ ∘ Ug ∘ ηX)
= εY ∘ FηUY⁻¹ ∘ FU(εY⁻¹ ∘ g) ∘ FηX
= εY ∘ FηUY⁻¹ ∘ FU(FUg ∘ εFX⁻¹) ∘ FηX (naturalité)
= εY ∘ F(ηUY⁻¹ ∘ UFUg) ∘ FUεFX⁻¹ ∘ FηX
= εY ∘ F(Ug ∘ ηUFX⁻¹) ∘ FUεFX⁻¹ ∘ FηX (naturalité)
= εY ∘ FU(g ∘ FηX⁻¹) ∘ εFUFX⁻¹ ∘ FηX
= g ∘ FηX⁻¹ ∘ FηX (naturalité)
= g

Naturalité : soit α : X → X' dans D.
θ (f ∘ α)
= εY ∘ Ff ∘ Fα
= θf ∘ Fα

Comme l'inverse d'un iso naturel est également naturel, θ⁻¹ est naturel en D.
De même pour la naturalité en C.

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Les foncteurs d'une équivalence sont nécessairement

Inversement un foncteur plein, fidèle et essentiellement surjectif donne lieu à une équivalence de catégories (mais de manière très peu naturelle, avec l'axiome du choix).

Les équivalences sont fortement liées aux isomorphismes : si A ≃ B dans D, alors il existe une catégorie C équivalente à D dans laquelle FA ≡ FB (on peut par exemple prendre le squelette de D si on a confiance en l'axiome du choix).
Inversement, si C est équivalente à D et FA ≡ FB, alors A ≃ B.

Comme les catégories doivent être considérées à équivalence près, il en découle qu'une notion ou une construction n'a pas le droit de distinguer des objets isomorphes (evil).

C'est pour ce genre de raisons qu'on ne s'intéresse qu'aux sous-catégories pleines, car être une sous-catégorie non nécessairement pleine n'est pas stable par équivalence : * → * est une sous catégorie de * ↔ *. Toutefois, cette dernière est équivalente à *, et aucune catégorie équivalente à la première ne peut en être une sous-catégorie.