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Interpréter le calcul extérieur en géométrie différentielle (11/18)

(D'après Dan Piponi)

Soit M une variété différentielle. On peut définir les fibrés tangent, cotangent et tensoriels habituels. Ils sont munis d'un produit extérieur ∧ antisymétrique.

Un n-vecteur est à interpréter comme une n-surface orientée élémentaire, tandis qu'un n-covecteur est à interpréter comme une (d-n) foliation. Les deux sont isomorphes, mais en l'absence d'une métrique, on ne dispose pas d'isomorphisme canonique.

Le produit extérieur de deux covecteurs est simplement l'intersection des feuilles.

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Les vecteurs permettent de faire du calcul différentiel sur des variétés différentielles : une flèche u : M → N induit en tout point x : M une application linéaire dₓf : TₓM → TᵤₓN qui généralise élégamment la différentielle usuelle.

Les covecteurs, eux, permettent de formuler le calcul intégral. Supposons que l'on aie une fonction f : M → R que l'on souhaite intégrer le long d'un chemin γ : [0 1] → M. Comme on veut que ce soit invariant par reparamétrisation, il faut prendre en compte la longueur du vecteur tangent. Mais comment faire, si l'on a pas de métrique ?

En fait, on n'intègre pas une fonction mais une forme différentielle ω (on intègre une n-forme sur une sous-variété de dimension n). Si l'on a une surface s : [O 1]ⁿ → M, on pose ∫ₛ ω = ∫_[0 1]ⁿ ω (sx, dₓs) dx
On remarque qu'une reparamétrisation sϕ donne
∫_[0 1]ⁿ ω (sϕx, dₓsϕ) dx
= ∫_[0 1]ⁿ ω (sϕx, d (ϕx, s) ∘ dₓϕ)) dx
= ∫_[0 1]ⁿ Jₓϕ ω (sϕx, d (ϕx, s))) dx (par symétrie de ω)
= ∫_[0 1]ⁿ ω (sx, dₓs) dx (par changement de variable)

Physiquement, cela correspond simplement à compter le nombre de (d-n)-feuilles qui intersectent la n-surface.

Pour que notre formulation du calcul différentiel soit correcte, il faut avoir une généralisation du théorème fondamental du calcul intégral. Pour cela, il faut pouvoir différentier les n-formes, ce qui est accompli par la dérivée extérieure, définie par
dω (v₁ … vₙ) = Σᵢ (-1)ⁱ vᵢ(ω(v₀ … ̂vᵢ … vₙ) + Σ_(i≤j) (-1)ⁱ⁺ʲ ω([vᵢ,vⱼ] v₀ … ̂vᵢ ̂vⱼ … vₙ)
ou plus simplement
d (f · dxⁱ¹ ∧ … ∧ dxⁱⁿ) = Σₖ ∂ₖf · dxᵏ ∧ dxⁱ¹ ∧ … ∧ dxⁱⁿ

On arrive alors à énoncer le théorème de Stokes :
∫ᵤ dω = ∫_∂u ω

L'interprétation de la dérivée extérieure est de prendre le bord des (d-n) feuilles (d'où le lien avec la cohomologie singulière). Le théorème de Stokes dit alors simplement que la variation des feuilles qui intersectent le bord est égale aux bords de feuilles à l'intérieur du volume.

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Métrique, dérivée covariante

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Une métrique nous donne une notion d'orthogonalité. Cela permet de définir l'opérateur ⋆ de Stokes qui envoie une n-forme sur une (d-n)-forme par
u ∧ ⋆v = ⟨u|v⟩ ω où ω est la forme de volume privilégiée.
Ça correspond à prendre les feuilles orthogonales.