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Géométrie

La géométrie, à mes yeux, est l'étude des schémas et de leurs faisceaux de fonctions : un mélange entre algèbre et logique.

Variétés

Les schémas sont les objets qui nous intéressent, mais ils sont malheureusement enterrés sous une couche d'abstraction assez difficile à percer. On commence par définir le concept plus simple de variété.
On cherche initialement à formaliser le concept de forme géométrique. Pour cela, on se donne un espace vectoriel de dimension finie k^n, on choisit un faisceau de fonctions qui nous intéresse (réelles différentiables, complexes holomorphes, polynomiales…), et on commence à étudier la variété affine d'un idéal de fonctions.
On observe deux phénomènes :


Une version intrinsèque du concept de variété peut alors être formulée : une variété est un espace topologique localement isomorphe à une variété affine pour le faisceau de fonctions souhaité. Très souvent, on interdit les singularités dans la définition, en demandant que la variété affine soit simplement un espace vectoriel. C'est la convention que l'on adoptera dans la suite.

Note : les singularités sont vraiment traitables correctement par les variétés ?

Les variétés héritent alors des propriétés des espaces vectoriels considérés, en particulier d'un faisceau de fonctions. Si les variétés proviennent d'un espace ayant une structure différentielle (typiquement R et C), on peut définir le fibré tangent qui permet d'utiliser le calcul différentiel — cf paragraphe suivant.

Dans le cas des variétés topologiques et différentielles, le théorème de plongement de Whitney nous indique qu'il n'y a en fait pas de différence avec les variétés affines.

Fibré tangent

Fibré tangent, cotangent, intégration, orientation, théorème de Stokes, métrique, connexion, cohomologie de de Rham.

Surfaces de Riemann

Tout provient du fait qu'une fonction holomorphe est DSE. Hurwitz, uniformisation, Riemann-Roch…

Courbes elliptiques et hyperelliptiques

Schémas

Les schémas permettent une jolie généralisation des variétés à des anneaux plus fantasques que les corps usuels, qui sont très importants par exemple en théorie des nombres.
Observation initiale : dans le cas des variétés affine algébriques sur un corps clos, la variété est en bijection très naturelle avec les idéaus maximaux de l'anneau des sections globales du faisceau de fonctions (ici, les polynômes). Si on regarde également les idéaux premiers, on récupère les fermés pour la topologie de Zariski en plus des points. On va alors choisir de remplacer les cartes par ces anneaux de fonctions pour obtenir la notion de schéma.
Soit k un anneau commutatif. On appelle k-anneaux les objets de kCRing. Un schéma affine donné par un k-anneau A est l'espace Spec(A) muni de la topologie de Zariski et du faisceau de fonctions dérivé de A :

Un schéma est alors un espace topologique localement isomorphe à un schéma affine.

On peut proposer une seconde définition, plus élégante, qui ne fait pas appel aux spectres. CRing^op↓k remplace alors la catégorie des spectres de k-anneaux, et un schéma est défini comme un faisceau pour la topologie de Grothendieck de Zariski sur CRing^op↓k recouvert par des schémas affines.
TODO : plus de détails.

Géométrie algébrique

Cohomologie de Cech

Cohomologie des faisceaux

Cohomologie étale

Conjectures de Weil