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Homotopie

Ma compréhension présente de l'homotopie peut être ramenée à l'étude des catégories supérieures, et en particulier de la catégorie homotopique. Les outils principaux sont :

Catégories supérieures

Les catégories supérieures, bien qu'objets centraux de l'homotopie, sont très difficiles à définir correctement.
On peut définir inductivement une (n+1)-catégorie stricte comme une catégorie enrichie sur n-Cat. Mais cette notion n'est pas celle qu'on veut : en effet, on a envie d'imiter ce qu'il se passe dans la catégorie homotopique (les lois catégoriques sont assouplies : par exemple, la composition de n-flèches n'est associative qu'à un (n+1)-iso près).
On peut alors écrire une nouvelle définition de n-catégorie avec cette idéee en tête. Ça marche pour n=2 (bicatégories), mais ça devient rapidement un enfer combinatoire, car aucun motif général clair ne semble apparaître. On se retrouverait donc avec une définition pour chaque entier, et la définition d'une ∞-catégorie par ces méthodes reste un problème ouvert.
Pour pallier ce problème, on peut remarquer si l'on dispose déjà d'une notion d'∞-catégorie correcte, on peut définir toutes les (n,r)-catégories en demandant que :

Malheureusement, on ne connaît pas de bonne définition d'∞-catégorie présentement. On a en revanche diverses approches pour les (∞,r)-catégories pour r fini (cf nlab).

Un cas particulier très simple à définir est celui des (∞,0)-catégories, aussi appelées ∞-groupoïdes. Essentiellement, l'hypothèse d'homotopie énonce que ces derniers sont équivalents (pour une bonne notion d'équivalence) aux espaces (pour une bonne notion d'espace).
Ma définition préférée d'un ∞-groupoïde est un ensemble simplicial fibrant (cf paragraphe sur les ensembles simpliciaux).

Homotopie topologique

L'homotopie trouvant ses racines dans la topologie algébrique, il est utile de garder en tête une instanciation de la machinerie homotopiques dans des catégories topologiques. Cela permet d'un côté une visualisation des concepts catégoriques parfois abstraits, tout en fournissant des outils puissants pour traiter les problèmes topologiques.

On pourrait s'intéresser à la catégorie Top des espaces topologiques, mais beaucoup trop d'espaces topologiques sont bien trop affreux pour qu'on aie envie de les considérer comme des espaces raisonnables pour faire de l'homotopie.
À la place, on va considérer diverses catégories :

Description en détail des trois catégories

CW-complexes

Ensembles simpliciaux

Ensembles cubiques

Catégories test

Catégories de modèle

Équivalences de Quillen

Limites et colimites homotopiques

Homologie et cohomologie

Catégories fibrées