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Fibration de Hopf (01/12/18)

Comprendre la fibration de Hopf, c'est comprendre la 3-sphère.

La visualisation la plus simple de la fibration de Hopf est construite sur S¹ * S¹, le join de deux cercles. En clair, il s'agit du HIT défini par

HIT join ≡
| inl : S¹ → S¹ * S¹
| inr : S¹ → S¹ * S¹
| push : ∀ x y : S¹, inl x = inr y

On décrit S¹*S¹ avec trois nombres :

On décrit S² avec deux nombes :

La fibration de Hopf est alors
⟨i, j, k⟩ → ⟨j-i, k⟩
ou, en donnant la fibre au-dessus de chaque point
⟨i, j⟩ → { ⟨k, k+i, j⟩ | k : S¹ }

Tout ceci est très visualisable ! Si on suit un méridien du nord vers le sud dans S², on part du cercle inl S¹ et on arrive à inr S¹ en ayant « tourné » de la longitude.

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La partie dure de cette version est de comprendre pourquoi S³ ≃ S¹ * S¹. Une solution est de montrer que * est associatif, et que ΣX = 2 * X. On obtient donc Sⁿ ≃ 2 * … * 2 (n+1 fois), d'où le résultat. Mais ce n'est pas très visuel ?

On peut aussi visualiser directement la chose : S³ et S¹ * S¹ sont tous les deux des quotients de I³ (le premier par tout le bord, le second étant un peu plus complexe). On peut contracter le bord de I³ → S¹ * S¹ le long des segments…

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Enfin, le dernier objectif est de comprendre l'image qu'on trouve sur internet, ie la sphère unité des quaternions projetée stéréographiquement dans R³.

Pour ça, il faut garder à l'esprit la manière dont on peut inclure deux copies orthogonale de S¹ dans la sphère unité des quaternions (qui sont les deux axes de rotations de la multiplication par j, mettons). Une fois projeté, on obtient le cercle unité du plan z=0, et l'axe z.
Ces deux cercles correspondront à inl S¹ et inr S¹. Donc l'objectif est, pour chaque méridien, de faire une transformation du cercle en la droite (en le faisant passer par l'infini), chacune ayant un décalage final différent.
Si l'on prend un parallèle de S², on obtient assez naturellement un tore.