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Morphismes géométriques et foncteurs plats (01/11/18)

Soient X et Y deux espaces topologiques. Un morphisme f : X → Y induit

Ces deux morphismes sont adjoints : _⁺ ⊣ _₊. Bien sûr, _⁺ préserve les colimites et _₊ préserve les limites. Mais _⁺ préserve aussi les limites finies (exact à gauche).

Pour X et Y sobres, ces adjonctions entre Sh(X) et Sh(Y) correspondent exactement aux morphismes X → Y :
Comme γ⁺ préserve les colimites et les limites finies, il préserve l'objet terminal et les monos, donc une fois restreint à Sub(1) c'est un morphisme de locales, qui correspond à un morphisme X → Y si ces derniers sont sobres. En écrivant tout objet comme une colimite de Yoneda, on doit pouvoir montrer que cette restriction détermine γ⁺ donc γ₊.

Dans le cas général, on va alors simplement définir un morphisme géométrique C → D comme une paire de foncteurs adjoints D | γ⁺ ⊣ γ₊ | C telle que γ⁺ soit exact à gauche.

On note que comme un topos vérifie toutes les hypothèses du théorème des foncteurs adjoints, on peut obtenir la même définition en ne demandant qu'un foncteur γ⁺ : D → C qui préserve les colimites et les limites finies.

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Le morphisme _₊ est assez surprenant parfois :
Si on l'applique au faisceau 1+1 : Sh(S¹) le long de S¹ → R, on obtient quelque chose qui ressemble à

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   ,—————,
——<       >——
   '—————'
   ———————
      ↓
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Le pullback, bien que sa définition puisse paraître plus complexe, est beaucoup plus intuitif. Ça vient, j'imagine, du fait que si on écrit la définition en termes de germes, la définition du pullback devient plus naturelle.

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Si on regarde le cas des topos de préfaisceaux, les morphismes géométriques admettent une caractérisation agréable à l'aide de la notion de foncteur plat : pour tout topos S, Geom[S, Ĉ] ≅ Flat[C, S]. On peut aussi voir ça comme la classification des foncteurs plats par les topos de préfaisceaux.

Comme l'extension de Kan est la seule manière naturelle de transformer un foncteur de [C, S] en foncteur [Ĉ, S], F va donc être plat ssi son extension de Kan préserve les limites finies. On doit aussi demander que S soit cocomplet pour avoir la préservation des colimites.

Dans le cas S = Set, cette condition équivaut au fait que la catégorie des éléments ∫F soit dirigée :

Dans le cas où S est un topos quelconque, il faut formuler cette condition dans sa logique interne. (?!)

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Pourquoi est-ce qu'on les appelle « plats » ?

On rappelle qu'un R-module M est appelé plat si le foncteur _ ⊗ M est lex (exact à gauche, ie préserve les limites finies).

Maintenant, prenons un groupe (catégorifié) G. Un élément de Ĝ est un G-ensemble à droite, et un foncteur F : G → Set est un G-ensemble à gauche (soit Y l'ensemble sous-jacent). Calculons l'extension de Kan de F :
Soit X un G-ensemble. ∫X est donné par le graphe des orbites (de support X). Si on y applique F et qu'on prend la colimite, on obtient les paires (x, y) : X×Y avec l'équation (x, y) = (x⋅g⁻¹, g⋅y), ce qui est clairement analogue à un produit tensoriel X ⊗ Y. Donc l'extension de Kan de F est _ ⊗ Y, d'où le nom.

On peut étendre ce « produit tensoriel au-dessus d'un groupe » à une catégorie C, pour calculer l'extension de Kan d'un foncteur C → Set à Ĉ. On aura alors que X ⊗ Y est l'ensemble des paires (x, y) : X(U) × Y(U) avec (x⋅f, y) = (x, f⋅y) pour f : U → V.